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試題分析

（一）知識(shí)全面，比例均衡

本套試題總分120分，考試時(shí)間120分鐘。

試題分選擇題、填空題、解答題三類。

結(jié)構(gòu)與2020年的試題相比略有變化：選擇題依然前10個(gè)每題3分，后6個(gè)每題2分，共42分；填空題由2019年的3題5空（1+1+3）12分（3+3+6），變?yōu)?題6空（2+2+2）12分（4+4+4）；解答題仍是7題66分（8+8+9+9+10+10+12）。

具體考查內(nèi)容與2020年試題對(duì)比如下表：

試題幾乎涵蓋了初中數(shù)學(xué)所有知識(shí)點(diǎn)，其中數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率所占比例約為5:4:1，與教學(xué)所占課時(shí)分配大致相當(dāng)。

試題按難易程度分容易題、中等題、較難題，所占分值比例約為3:5:2，整套試題難度系數(shù)約為0.65。

（二）注重基礎(chǔ)，梯度分明

試題由易到難，梯度明顯。

選擇題中，1～5題是對(duì)基本的數(shù)學(xué)概念、代數(shù)運(yùn)算法則的考查。

第6題考查了空間想象，7題平行四邊形的判定定理，8題利用相似計(jì)算，9題三次根式的加減運(yùn)算，10題利用對(duì)正六邊形的分割求面積。這些相較前5題略微綜合，對(duì)學(xué)生的能力要求稍高，但也是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查。

第11題利用數(shù)軸考查了線段的等分，包含了相反數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)值大小的比較等知識(shí)。12題借兩點(diǎn)間距離范圍考查了線段垂直平分線及三角形三邊關(guān)系等知識(shí)。13題考查了基本定理的證明，其中又滲透了特殊與一般的辯證關(guān)系。14題考查的是統(tǒng)計(jì)圖，里面包含的邏輯推理也是一個(gè)難點(diǎn)。15題考查的是比較大小的基本方法——作差法，里面又涉及到分類討論。這些題目更綜合，更是對(duì)知識(shí)與能力的綜合考評(píng)。16題作為選擇題的壓軸題，其綜合性更強(qiáng)，通過(guò)作圖，考查了找圓心的方法，矩形的判定、扇形面積的求法，以及分類討論思想，難度較大。

填空題中，每題都有兩個(gè)空，前者基礎(chǔ)，后者綜合。無(wú)論從閱讀理解題意上，還是知識(shí)結(jié)構(gòu)，都呈現(xiàn)梯度變化。

七道解答題布局亦是由易到難，從數(shù)與式的運(yùn)算，基本的概率知識(shí)，到基礎(chǔ)的一次函數(shù)應(yīng)用，簡(jiǎn)單幾何證明，再到二次函數(shù)應(yīng)用，最后是圖形探究，難度逐漸加大，知識(shí)愈加綜合。并且每道試題的幾個(gè)設(shè)問(wèn)之間也是前后遞進(jìn)，在思維延伸與結(jié)論繼承同時(shí)，給考生多種解題方案供選擇。

（三）能力體現(xiàn)，思維考評(píng)

人們?cè)诠ぷ鳌W(xué)習(xí)、生活中每逢遇到問(wèn)題，總要“想一想”，這種“想”，就是思維。2021年河北省中考試題延續(xù)了之前的風(fēng)格，將思維的考查體現(xiàn)的淋漓盡致。

如第10題，解決該問(wèn)題思維過(guò)程兩個(gè)步驟：

先判斷面積是否為定值，然后計(jì)算其大小。

由正六邊形性質(zhì)可知

AF=EF=DE=CD，

∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，

所以∠DFE=∠FDE=30°，

∠AFO=∠CDO=90°，

所以，正六邊形的邊長(zhǎng)為定值。

求正六邊形的面積有多種方法可以選擇，如圖1-1到圖1-4：

這道題目包含了正多邊形、矩形、等腰三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，對(duì)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)要求較高，思維含量較大。

重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯思維、推理思維和轉(zhuǎn)化思維，并且給學(xué)生留出了充分的思維空間。

再如第19題以反比例函數(shù)為載體，考查的不僅僅是反比例函數(shù)知識(shí)。思維的考查主要體現(xiàn)在問(wèn)題（2）。

我們知道，函數(shù)圖象與坐標(biāo)系緊密相關(guān)，坐標(biāo)系確定了，函數(shù)圖象也就確定了。這里將坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度變小，在固定的視窗中看到的函數(shù)圖象相對(duì)視窗也變小了。而這個(gè)大小變化過(guò)程中，原點(diǎn)位置是不發(fā)生變化的。

不難發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)O的位似變化。理解了這一層關(guān)系，該問(wèn)題就容易解決了。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-50,0），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-40,0）。

如圖2，若令視窗為參照標(biāo)準(zhǔn)，以變化前的坐標(biāo)系給視窗賦予數(shù)據(jù)，該問(wèn)題變?yōu)榱藢⒎幢壤瘮?shù)AB間的函數(shù)圖象經(jīng)位似變化，使其落在及范圍內(nèi)。故變化后與變化前的位似比滿足，求得整數(shù)k＝4。問(wèn)題的解決只是用到了相似比，但重要的是解決之前的思考。解題需要考生想象出這個(gè)變化的過(guò)程，從變化的過(guò)程出分析出不變的規(guī)律，再中抽象出數(shù)學(xué)模型，最后用數(shù)學(xué)知識(shí)求解。這中間包含了大量的思維活動(dòng)。、

這也印證了河北中考題的特點(diǎn)：思考量大，書寫量小。

這道試題是以用繪圖軟件對(duì)圖象的大小變化探究為背景進(jìn)行命制的，其實(shí)我們對(duì)這個(gè)背景非常熟悉。

如圖，在用手機(jī)看照片時(shí)，用兩個(gè)手指在屏幕上滑動(dòng)，照片就相應(yīng)變大或縮小，這其實(shí)就是一個(gè)位似變化模型。該題目也從反映了中考試題源于生活。

（四）貼近生活，注重應(yīng)用

試題注重理論聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

理論聯(lián)系實(shí)際的試題，體現(xiàn)現(xiàn)代社會(huì)生產(chǎn)生活等方面的特點(diǎn)，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、概率計(jì)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，對(duì)教學(xué)和育人具有積極的意義。在教學(xué)過(guò)程中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生解題能力，更要注重從“解題”到“解決問(wèn)題”的意識(shí)轉(zhuǎn)換。

如第8題，利用酒杯中液體高度考查了相似的性質(zhì)；第18題借助“躺椅”的調(diào)節(jié)，考查了基本幾何知識(shí)——角度的運(yùn)算。

以相關(guān)實(shí)際問(wèn)題為背景的題目還有第14、23題等。在第22題在參觀博物館的情景中，對(duì)概率知識(shí)（尤其是求概率的方法）進(jìn)行了考查。

（五）試題生長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)傳承

河北省中考試題的延續(xù)性，主要體現(xiàn)在試題的生長(zhǎng)和結(jié)構(gòu)的傳承。

如第23題，試題的實(shí)際背景很新穎，但其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)我們都非常熟悉。問(wèn)題（1）（2）都是對(duì)函數(shù)圖象的解析式進(jìn)行考查，問(wèn)題（3）難度略大。

如圖4-1，由于點(diǎn)Q一直在點(diǎn)P的正下方，故P、Q可以看成是一條與x軸垂直的動(dòng)直線與兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)。兩機(jī)距離不超過(guò)3km，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差不超過(guò)3。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們可以將兩函數(shù)圖象l1，l2進(jìn)行置換，這樣試題就可以“生長(zhǎng)”了！

如圖4-2，可以將l1、l2換成拋物線和直線（2019。26題）；如圖4-3，可以將與x軸垂直的直線換為與y軸垂直的直線（2020。24題）。無(wú)論試題怎樣“生長(zhǎng)”，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是不變的。該試題數(shù)學(xué)本質(zhì)是研究在不同的函數(shù)圖象上具有橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）相同的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）的關(guān)系。

（六）素養(yǎng)落地，教學(xué)引領(lǐng)

我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，要關(guān)注學(xué)生的“四基”，要注重培養(yǎng)學(xué)生的“四能”，要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地。

檢驗(yàn)這些要求落實(shí)情況，離不開優(yōu)秀的測(cè)試試題。數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅僅是指數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等能力。更多的是表現(xiàn)在解決問(wèn)題時(shí)選擇的方式策略方面。遇到的問(wèn)題可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以是生活問(wèn)題，選擇的解決方式是否快捷與自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大關(guān)系。2021年的中考試題中，不僅壓軸題能反應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在一些小題中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查也很到位。

如第14題，解決該問(wèn)題需要對(duì)比兩種圖表，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。通過(guò)扇形圖可以發(fā)現(xiàn)藍(lán)色所占比例最小，對(duì)應(yīng)條形圖中是最低一列，5人。進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算得出樣本的容量為50。接著利用扇形圖中的數(shù)學(xué)計(jì)算得出喜歡紅色的有14人，這樣有三組人數(shù)確定，分別為：16，14，5，剩余的一組人數(shù)是15人。發(fā)現(xiàn)喜歡紅色的有14人，從多到少為第三組，恰為問(wèn)題答案。但是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，并不需要去計(jì)算每一組的具體人數(shù)，而是對(duì)所求的目標(biāo)直接進(jìn)行邏輯推理，這就是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。